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Sciences et Techniques Industrielles 
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Automatique et Informatique Industrielle 
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Génie Mécanique – Première 
 
 
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(100)
2
=(4)
10 
(11100100101)
(F)
HEX
=(15)
10 
(256)
DEC
 (FF2)
16
 
(11)
BIN
=(3)
HEX 
 
1 – 
SYSTÈME DE NUMÉRATION :
 
 
 
1.1 - 
CODE :
 
 
Un nombre décimal peut être représenté par son équivalent dans un code différent tel que:
 
 
le code binaire,
 
 
le code octal,
 
 
le code hexadécimal 
 
 
Outre le système décimal, les principaux systèmes de numération que l'on utilise dans le domaine du 
traitement de 
l
'information sont: les systèmes 
binaire, octal
 et 
hexadécimal.
 
 
Exemple :
 
Le nombre décimal 12 est représenté: 
 
par le nombre 
1100
 dans le code binaire, 
 
par le nombre 
14 
dans le code octal, 
 
par la lettre 
C
 dans le code hexadécimal. 
 
1.2 - 
BASE :
 
 
Exemples :
 
 
Le nombre 341
(8)
 en base octale s'écrit: 
 
3 × 8
2
 + 4 × 8
1
 + 1 × 8
0
 
 
Le nombre 3AF
(16)
 en base hexadécimale s'écrit: 
 
3 × 16
2
 + A × 16
1
 + F × 16
0
 
Un code est un ensemble de règles de représentation de données qui peuvent être
 
 
numériques,
 
 
alphabétiques,
 
 
ou al
p
hanuméri
q
ues.
 
Lorsqu'un code s'applique à la manière. d'énoncer les nombres, il définît un système de 
numération. 
Une base B caractérise un système de numération dans lequel tout nombre  
N peut s'écrire: 
N = m
n
B
n
 + m
n-1
B
n-1
 + M
1
B + M
0
B
0
 
avec tous les coefficients 
m < B.
 
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Base 
coefficient m 
Binaire, B = 2 
Octale, B = 8 
Décimale, B = 10  
Hexadécimale, B = 16 
0, 1 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
 
1.3 – 
PONDÉRATION :
 
 
Représenter un nombre N
B
 de n chiffres (ou symboles), dans une base B donnée, consiste en 
l'écriture en ligne de ces n chiffres de façon telle que: 
 
N
B
 = (§)
n-1
… (§)
i
 ... (§)
5
 (§)
4
 (§)
3
 (§)
2
 (§)
1
 (§)
0
 
 
Avec:  
 
§: un quelconque des B chiffres ou symboles de la base, 
 
n - 1, .... i, 5, 4, 3, 2, 1, 0 indices indiquant le rang ou la position d'ordre du chiffre à partir 
de la droite. 
 
Exemple :
 
 
Dans le nombre décimal 425, le chiffre 5 est en position d'ordre 1 ou rang 0, le chiffre 2 en position 
d'ordre 2 ou rang 1 et le chiffre 4 en position d'ordre 3 ou rang 2. 
4  
2  5  nombre 
2  
1  0  rang
 
 
Pour la base 10, système décimal: 
 
le premier rang ou rang 0 a pour poids 10
0
 soit 1, c'est le rang des unités, 
 
le rang suivant, rang 1 a pour poids 10
1
 soit 10 (rang des dizaines), 
 
le rang 2 a pour poids 10
2
 soit 100 (rang des centaines), 
 
le rang 3 a pour poids 10
3
 Soit 1000 (rang des milliers),et ainsi de suite. 
 
Exemple :
 
 Le nombre décimal 2001 est constitué de quatre chiffres: 
1 au rang 0 soit  
1 × 1  
= 1 
0 au rang 1 soit  
0 × 10  
= 0 
0 au rang 2 soit  
0 × 100 
= 0 
et 2 au rang 3 soit   
2 ×1000 = 2000 ce qui donne un total de : 2001 
 
Pour la base 2, système binaire:  
le premier rang ou rang 0 a pour poids 2
0
 soit 1, 
le rang 1 a pour poids 2
1
 soit 2,  
le rang 2 a pour poids 2
2
 soit 4,  
le rang 3 a pour poids 2
3
 soit 8, et ainsi de suite. 
 
Nota :
 
Dans le système binaire on ne parle plus d'unité, de dizaine ou de centaine mais de bit (contraction 
de l'anglais binary digit, qui signifie rang binaire). On distingue ainsi le bit 0, le bit 1, le bit 2, le bit 3 ... 
L'équivalent français de bit est 
élément binaire ou eb, 
ce terme est relativement peu employé. 
La pondération permet l'attribution d'une valeur numérique ou poids à chacun des rangs. 
Ce poids P dépend de la base dans laquelle est représenté le nombre et a pour valeur:  
P
=
B
rang
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2 – 
CODE BINAIRE PUR :
 
 
Nota :
 
Un groupe de huit bits est appelé octet (en anglais byte of 8 bits). Un groupe de quatre bits est 
appelé quartet (en anglais byte of 4 bits). 
 
Exemple :
 
Le nombre binaire 110011 a pour valeur : 
1 × 2
+ l × 2
+ 0 × 2
+ 0 × 2
+ 1 × 2
1
 + 1 × 2
0
 soit en décimal : 
 
 
 
32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 51
 
 
2
3
 
(8) 
2
2
 
(4) 
2
1
 
(2) 
2
0
 
(1) 
Équivalent 
décimal N
(10)
 
 
2
3
 
(8) 
2
2
 
(4) 
2
1
 
(2) 
2
0
 
(1) 
Équivalent 
décimal N
(10)
 
 
8
 
 
8 + 1 ou 9
 
 
8 + 2 ou 10
 
2 + 1 ou 3
 
 
8 + 2 + 1 ou 11
 
 
8 + 4 ou 12
 
4 + 1 ou 5
 
 
8 + 4 +1 ou 13
 
4 + 2 ou 6
 
 
8 + 4 + 2 ou 14
 
4 + 2 + 1 ou 
7
 
 
8 + 4 +2 +1 ou 15
 
 
 
3 - 
CODE BINAIRE RÉFLÉCHI OU CODE GRAY :
 
 
Dans le code binaire pur le passage d'une combinaison à l'autre entraîne parfois le 
changement simultané de plusieurs bits. 
c'est par exemple le cas pour la transition de l'équivalent décimal 3 à l'équivalent décimal 4 
pour laquelle les bits de poids 1 et 2 passent de 1 à 0 et le bit de poids 4 passe de 0 à 1; 
 
Pour éviter cet inconvénient, cause d'aléas lorsque le code sert à la représentation de grandeurs 
physiques à variation continue, informations de position par exemple, il est nécessaire d'imaginer des 
codes pour lesquels le passage d'une combinaison à la suivante n'implique que la modification d'un 
bit et d'un seul. De tels codes sont appelés 
"codes réfléchis".
 
 
Parmi ceux-ci, le code de Gray est le plus employé. 
 
Nota :
 
Un code réfléchi qui est un code non pondéré ne peut être utilisé pour les opérations 
arithmétiques. 
Le code binaire pur ou code binaire naturel est un code pondéré dans lequel les poids 
sont représentés par les puissances successives de deux. 
La valeur décimale du nombre binaire représenté s'obtient directement par addition du 
poids affecté à chaque bit de valeur 1 .
 
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3
 
(8) 
2
2
 
(4) 
2
1
 
(2) 
2
0
 
(1)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - 
REPRÉSENTATION HEXADÉCIMALE DES NOMBRES BINAIRES :
 
 
La représentation hexadécimale ou représentation à base 16 est une notation condensée des 
nombres binaires. En remarquant que 24 = 16, on peut représenter un octet binaire à l'aide de l'un 
des 16 symboles du système hexadécimal. Dans ce système les dix premiers symboles sont 
identiques à ceux utilisés dans le système décimal :  
 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9,  
et les six derniers correspondent aux premières lettres de l'alphabet latin : 
 
A, B, C, D, E et F, 
lesquelles valent respectivement 10, 11, 12, 13, 14 et 15 en base 10. 
 
TRANSCODAGE :
 
 
1 – Passage de la Base 2 à la Base 16 :
 
 
 
 
 
 
 
Exemple :
 
Soit le nombre binaire 
1011100110101100
 
à convertir en hexadécimal. 
Le découpage en quartets de ce nombre donne : 
1011 1001 1010 1100 
Après pondération, la somme
S
, bit par bit de chaque groupe de quatre bits est :
Pour représenter en hexadécimal un nombre binaire, il suffit de le découper en groupe de 
quatre bits. Chacun des bits de ces groupes ayant une pondération s'échelonnant de 2
0
 à 
2
3
 , leur somme fournit la valeur hexadécimale de chaque groupe. 
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2
3
 
(8) 
2
2
 
(4) 
2
1
 
(2) 
2
0
 
(1) 
S
 
 
11 
Soit 
B
(16)
 
Soit 
9
(16)
 
10 
Soit 
A
(16)
 
12 
Soit 
C
(16)
 
 
Le nombre hexadécimal correspondant au nombre binaire
 
1011100110101100
 
est : 
B9AC
 
 
2 – Passage de la Base 16 à la Base 2 :
 
 
Exemple :
 
Les trois quartets binaires équivalents au nombre hexadécimal
 
8D6
 
sont : 
 
 
2
3
 
(8) 
2
2
 
(4) 
2
1
 
(2) 
2
0
 
(1) 
 
Le nombre binaire correspondant au nombre hexadécimal
 
8D6
 
est :
 
1000 1101 0110
 
 
5 – 
REPRÉSENTATION OCTALE DES NOMBRES BINAIRES :
 
 
Comme la représentation hexadécimale la représentation octale ou représentation à base 8 
est une notation condensée des nombres binaires. 
En remarquant que 2
3
 = 8, on peut représenter un triplet binaire à l'aide de l'un des 8 
symboles du système octal. Ces huit symboles sont identiques au huit premiers chiffres du système 
décimal, soit: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7. 
 
Exemple :
 
Soit le nombre binaire
 
110101100
 
à convertir en octal. Le découpage en triplets de ce nombre 
donne:
 
 
 
110 101 100
 
Après pondération, la somme
 
S
, bit par bit de chaque groupe est : 
Pour convertir en binaire un nombre hexadécimal, il convient de remplacer chacun des 
symboles hexadécimaux par son quartet binaire équivalent
 
Pour représenter en octal un nombre binaire, il suffit de le découper en groupe de 
trois bits ou triplet. 
Chacun des bits de ces groupes ayant une pondération s'échelonnant de 2
0
 à 2
2
 
leur somme fournit la valeur octale de chaque groupe. 
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2
2
 
(4) 
2
1
 
(2) 
2
0
 
(1) 
S
 
 
Soit 
6
(8)
 
Soit 
5
(8)
 
Soit 
4
(8)
 
 
Le nombre octal correspondant au nombre binaire
 
110101100
 
est : 
654
 
 
6 - 
REPRÉSENTATION BINAIRE CODÉE DÉCIMALE :
 
 
 
Ainsi: 
 
au 0
(10)
 correspond 0000
(2)
 
au 1
(10)
 correspond 0001
(2)
 
 
au 9
(10)
 correspond 1001
(2)
 
 
Le code Binaire Codé Décimal (BCD) est un code pondéré. 
 
Les poids des bits représentatifs sont: 
 
pour le quartet le moins significatif (le premier quartet à droite): 
8.4.2.1.
 
pour le quartet suivant 
80.40.20.10
 
800.400.200.100.
 pour le troisième, 
 
et ainsi de suite jusqu'au quartet le plus significatif (le dernier quartet à gauche). 
 
Exemple :
 
Le nombre décimal
 
2001
(10)
  
devient en BCD :
 
0010 0000 0000 0001
 
Inversement, le nombre BCD
  
1001 0101 0001 0111
 : 
 
1001 0101 0001 0111 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dans la représentation binaire codée décimale à chacun des éléments décimaux 
correspond un quartet représentatif de son équivalent binaire. 
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7 - 
RÉCAPITULATIF DES MÉTHODES DE CONVERSION :
 
7.1 - Conversion binaire - décimal :
 
 
 
 
La méthode consiste à décomposer le 
nombre en puissances décroissantes de 2 en 
partant du rang le plus haut, soit : 
 
 
1010
(2)
 = 1 × 2
3
 + 0 × 2
2
 + 1 × 2
1
 + 0 × 2
1010
(2)
 = 8 + 0 + 2 + 0 
 
1010
(2)
 = 10
(10)
 
7.2 - Conversion décimal - binaire :
 
           
 10             2   
10
(10)
 = 1010
(2)
 
 
               5                2       
  2
 1     2     
    
 0     1  
      
 
 
On effectue des divisions successives  
par 2, soit :
 
           
7.3 - Conversion hexadécimal - décimal :
 
 
La méthode consiste à décomposer le nombre 
en puissances décroissantes de 16 en partant 
du rang le plus haut, soit: 
 
BA8
(16)
 = B 
×
 
16
2
 + A 
×
 
16
1
 + 8 
×
 
16
0
 
BA8
(16)
 = 11 
×
 
16
2
 + 10 
×
 
16
1
 + 8 
×
 
16
BA8
(16)
 = 2816 + 160 +8 
 
 
BA8
(16)
 = 2984
(10) 
 
7.4 - Conversion décimal – hexadécimal :
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
298416   
 
 
  
 
8 186  16 
 
 
  
 
10  11 
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
 
 
   
2984
(10)
 = BA8
(16)
 
 
 
 
   
 
 
  
  
 
On effectue des divisions successives  
par 16 
 
 
 
  
 
 
 
 
7.5 – Conversion Octal – Décimal :
 
 
 
La méthode consiste à décomposer le 
nombre en puissances décroissantes de 8 en 
partant du rang le plus haut, soit: 
 
 
777
(8)
 = 7 
×
 
8
2
 + 7 
×
 
8
1
 + 7 
×
 
8
0
 
777
(8)
 = 448 + 56 +7 
777
(8)
 = 511
(10) 
 
7.6 – Conversion Décimal – Octal :
 
 
 
 
  
  
 
 
 
511 8   
  
 
 
 
63  8   
 
 
 
 
 7  8 
 
 
 
 
 
 
 0 
 
 
 
 
 
  
  
 
 
 
 
 
  
 
511
(10)
 = 777
(8)
  
 
 
On effectue des divisions successives  
par 8, soit: 
 
 
 
 
  
  
 
 
Sens de Lecture 
Sens de Lecture 
Sens de Lecture 
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8 - 
OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES EN BASE 2 :
 
 
Tables 
D’addition 
De soustraction 
0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 =10 
0 – 0 = 0 
0 – 1 = 10 
1 – 0 = 1 
1 – 1 = 0 
Les opérations les plus 
fréquentes en base 2 sont: 
 
 
l'addition
,  
 
la soustraction
.
 
 
Ces opérations s'effectuent 
de la même manière que les 
opérations décimales en utilisant 
des tables d'addition et de 
soustraction beaucoup plus simples. 
Les éléments entraînant une retenue sont surlignés 
 
8.1 - 
ADDITION BINAIRE :
 
 
 
 
Exemple :
 
Effectuer l'addition de deux nombres binaires A et B tels que: 
 
A = 110
 
(6 en décimal) 
 
B = 011
 
(3 en décimal)
 
Décomposition de la procédure: 
 
au premier rang (2
0
), la retenue aval 
est forcément nulle et le total de A. et 
B. est bien égal à 1, 
 
au rang suivant (2
1
), la retenue aval 
est également nulle, le total de A
1
 et 
B
1
, est égal à 0 mais génère un report 
R
1
 
au troisième rang (2
2
) au total de A
2
 et 
B
2
 égal à 1 il faut rajouter le report R1 
ce qui donne un total définitif de 0 avec 
un report R2 qui affecte le rang quatre.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
(3)
 2
(2)
 2
(1)
 2
(0)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Le résultat définitif est donc : 
1001
 soit  
9 en décimal (6 + 3 = 9). 
Des exercices et des corrigés sont sur le décodage , codage et transcodage sont disponibles ICI.

Un petit script pourra vous permettre de vérifier vos calculs : ICI.

L'addition est l'opération qui 
consiste à effectuer: 
 
dans un premier temps, la somme S
i
 de deux chiffres binaires de même rang 
tels que A
i
 
et 
B
i
 par exemple, 
 
puis, dans un second temps, une deuxième somme entre le résultat 
précédemment obtenu et la valeur du report ou retenue R
i-1
, issu de l’addition 
aval de rang i - 1